BARISAN DAN DERET (ARITMATIKA dan GEOMETRI)

A. Barisan aritmatika

U1, U2, U3, .......Un-1, Un disebut barisan aritmatika, jika
U2 - U1 = U3 - U2 = .... = Un - Un-1 = konstanta

Selisih ini disebut juga beda (b) = b =Un - Un-1

Suku ke-n barisan aritmatika a, a+b, a+2b, ......... , a+(n-1)b
U1, U2, U3 ............., Un

Rumus Suku ke-n :

Un = a + (n-1)b = bn + (a-b) ® Fungsi linier dalam n

B. Deret aritmatika

a + (a+b) + (a+2b) + . . . . . . + (a + (n-1) b) disebut deret aritmatika.

a = suku awal
b = beda
n = banyak suku
Un = a + (n - 1) b adalah suku ke-n

Jumlah n suku

Sn = 1/2 n(a+Un)
= 1/2 n[2a+(n-1)b]
= 1/2bn² + (a - 1/2b)n ® Fungsi kuadrat (dalam n)

Keterangan:
1. Beda antara dua suku yang berurutan adalah tetap (b = Sn")
2. Barisan aritmatika akan naik jika b > 0
Barisan aritmatika akan turun jika b < 0
3. Berlaku hubungan Un = Sn - Sn-1 atau Un = Sn' - 1/2 Sn"
4. Jika banyaknya suku ganjil, maka suku tengah

Ut = 1/2 (U1 + Un) = 1/2 (U2 + Un-1) dst.
5. Sn = 1/2 n(a+ Un) = nUt ® Ut = Sn / n
6. Jika 3 bilangan membentuk suatu barisan aritmatika, maka untuk memudahkan perhitungan, misal bilangan-bilangan itu adalah a - b , a , a + b

C. Barisan Geometri

U1, U2, U3, ......., Un-1, Un disebut barisan geometri, jika

U1/U2 = U3/U2 = .... = Un / Un-1 = konstanta

Konstanta ini disebut pembanding / rasio (r)

Rasio r = Un / Un-1

Suku ke-n barisan geometri

a, ar, ar² , .......arn-1
U1, U2, U3,......,Un

Suku ke n Un = arn-1 ® fungsi eksponen (dalam n)

D. Deret Geometri

a + ar² + ....... + arn-1 disebut deret geometri
a = suku awal
r = rasio
n = banyak suku

Jumlah n suku

Sn = a(rn-1)/r-1 , jika r>1
= a(1-rn)/1-r , jika r<1 ® Fungsi eksponen (dalam n)

Keterangan:
a. Rasio antara dua suku yang berurutan adalah tetap
b. Barisan geometri akan naik, jika untuk setiap n berlaku
Un > Un-1
c. Barisan geometri akan turun, jika untuk setiap n berlaku
Un < Un-1

Bergantian naik turun, jika r < 0
d. Berlaku hubungan Un = Sn - Sn-1
e. Jika banyaknya suku ganjil, maka suku tengah
_______ __________
Ut = Ö U1xUn = Ö U2 X Un-1 dst.
f. Jika tiga bilangan membentuk suatu barisan geometri, maka untuk memudahkan perhitungan, misalkan bilangan-bilangan itu adalah a/r, a, ar

Membedakan Permutasi dan Kombinasi

Sering sekali siswa sma dihadapkan pada satu soal tentang probabilitas suatu kejadian dan kebingungan akan menggunakan permutasi atau kombinasi dalam menyelesaikan soal tersebut, oke kita liat dulu yuk rumusnya:
Dalam urusan permutasi dan kombinasi kita harus tahu terlebih dahulu tentang notasi faktorial (!) dan penggunaannya, dan saya anggap udah bisa, welah kok malah ngelantur lha mana rumusnya ?
Rumus permutasi:

Rumus kombinasi:

Oke penggunaannya, jika permutasi adalah pengabungan beberapa objek dengan memperhatikan urutan jadi {a,b,c} berbeda dengan {b,a,c}. Contohnya adalah jika terdapat 3 bola dengan warna berbeda yaitu kuning, hijau dan merah, ambil 2 bola dengan memperhatikan urutan maka permutasi yang mungkin terjadi adalah 6 yaitu {kuning,hijau}, {kuning,merah}, {hijau,kuning}, {hijau,merah}, {merah,kuning} dan {merah,hijau}.
Jika menggunakan rumus =
dengan n=banyaknya bola r=banyaknya pengambilan

Sedangkan kombinasi adalah penggabungan beberapa objek dengan tidak memperhatikan urutan, jadi {a,b,c} sama dengan {b,a,c} juga sama dengan {c,a,b} dan sama dengan urutan yang lain asalkan terdiri dari 3 huruf tersebut.
Contohnya ada 4 orang anak yaitu A, B , C dan D. Akn diambil 2 orang untuk mewakili sekolah dalam lomba menggambar maka kemungkinan 2 orang tersebut ada 6 yaitu {A,B}, {A,C}, {A,D}, {B,C}, {B,D} dan {C,D}. Kalo dikerjakan dengan rumus maka,
Kombinasi = dengan n=banyaknya anak dan r=banyaknya yang diambil

Oke semoga sedikit tambah jelas ya….